Propriétés

Les ondelettes sont liées par une équation d'échelle.

Le changement d'échelle s'interprète comme un filtrage discret.

Les propriétés de nullité des moments, de support, de régularité et de symétrie sont déterminés par le filtre d'échelle.


Équation d'échelle

y(t/2) et f(t) sont reliés par une équation d'échelle, analogue à celle reliant j(t/2) et j(t), qui se déduit de (7.60):

Dans le domaine de Fourier, cette relation devient

Les filtres h et g déterminent un banc de filtres miroirs conjugués.

Moments nuls

Une ondelette a m moments nuls si et seulement si sa fonction d'échelle restitue le polynômes de degré inférieur ou égal à m. Alors que cette propriété sert, pour les fonctions d'échelle, à décrire les capacités des analyses multirésolutions à approximer des signaux réguliers, du point de vue des ondelettes elle permet de caractériser une propriété "duale", c'est-à-dire l'ordre des singularités d'un signal.

Le nombre de moments nuls est entièrement déterminé par les coefficients h[n] du filtre h intervenant dans l'équation d'échelle:

Si la transformée de Fourier de l'ondelette est p fois différentiable, les trois conditions suivantes sont équivalentes:

Support compact

Il existe des ondelettes et des fonction d'échelle à support compact.

La fonction d'échelle est à support compact si et seulement si le filtre h est à support fini, et leurs supports sont identiques. Si le support de la fonction d'échelle est [N1,N2], le support de l'ondelette est [(N1-N2+1)/2,(N2-N1+1)2].

La compacité des atomes est donc équivalente à celle du filtre h.

Daubechies a montré que, pour avoir une ondelette orthogonale à p moments nuls, il faut utiliser un filtre h de longueur au moins 2p. Les filtres de Daubechies, correspondant aux ondelettes de Daubechies, sont de longueur 2p. Les coefficients des filtres de Daubechies sont disponibles sous forme de fichiers texte au format tabulation/retour chariot pouvant être importés dans un tableur quelconque.

Régularité

La régularité des ondelettes est beaucoup moins importante que la nullité de leurs moments. Elle fait l'objet d'un théorème de Tchamitchian.

Notons tout de même les deux résultats essentiels suivants:

Les ondelettes de Meyer sont des ondelettes indéfiniment dérivables, de support infini. Leur implémentation se fait plutôt dans le domaine fréquentiel.

Symétrie

Les fonctions d'échelles et ondelettes symétriques ou antisymétriques sont importantes parce qu'elles permettent de construire des bases d'ondelettes régulières sur un intervalle, et non plus sur tout l'axe réel. Daubechies a montré que, pour qu'une ondelette sont symétrique ou antisymétrique, le filtre h doit être à phase complexe linéaire, et que le seul filtre miroir conjugué symétrique à support fini est le filtre de Haar, qui correspond a une ondelette discontinue à un seul moment nul. Mis à part l'ondelette de Haar, il n'y a donc pas d'ondelette orthogonale symétrique à support compact.


Ondelettes othogonales et filtres discrets