Name: Fonctions de Lyapunov, Stabilité, Stabilisation et Atténuation de perturbations
Author: Laurent Praly, Delphine Bresh-Pietri


	Laurent Praly & Delphine Bresh-Pietri

	Fonctions de Lyapunov, Stabilité, Stabilisation et Atténuation de perturbations

	Partie 1 : Stabilité
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	Partie 2 : Stabilisation et Atténuation de perturbations
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Stabilité
Table des matières Équations différentielles Équations différentielles Existence et propriétés des solutions des équations différentielles Dérivée le long des solutions Inégalités différentielles Ensembles limites et ensembles invariants Notes bibliographiques Stabilité Fonctions de comparaison, définies positives, propres Définitions de propriétés en relation avec la stabilité Domaine de stabilité Bassin d'attraction Conditions suffisantes de stabilité et d'instabilité Stabilité Instabilité Conditions suffisantes: Extensions Stabilité Convergence vers un ensemble Héritage des propriétés des solutions évoluant dans l'ensemble attracteur Restriction sur l'ensemble attracteur Phase asymptotique et ombre d'une solution Conditions nécessaires Le cas particulier de la stabilité exponentielle Conditions suffisantes Effets d'une perturbation Conditions nécessaires Propriétés des solutions Linéarisation par changement de coordonnées Remarques complémentaires Notes bibliographiques Action des variables exogènes et Stabilité entrée-état Étude qualitative de l'action des variables exogènes Stabilité entrée-état Théorèmes du petit gain Application : Robustesse de la stabilité à des dynamiques négligées Notes bibliographiques Action des variables exogènes et Dissipativité Dissipativité entrée-sortie Stabilité et interconnexion de système dissipatifs Stabilité Interconnexion Conditions nécessaires sur le terme de source Conditions dépendant de la fonction d'accumulation Conditions indépendantes de la fonction d'accumulation Notes bibliographiques Annexes Lemmes techniques Résultats techniques sur les fonctions monotones Régularisation de fonctions monotones Régularisation en 0 de fonctions de classe K Séparation de fonctions croissantes Approximations Lipschitziennes de fonctions continues Approximations C^∞ de fonctions Lipschitziennes Linéarisation de la dérivée d'une fonction de Lyapunov Continuité de l'enveloppe supérieure Preuve du Théorème dit réciproque de Lyapunov Introduction Remarque préliminaire Famille d'approximations Mise en route Stabilité asymptotique de l'origine pour (B17) Construction des f_j et locale Lipschitzianité des X Construction et étude des propriétés de V_0 Régularisation de V_0 Résultats sur des matrices Décomposition Équation de Sylvester Approximation par une matrice diagonalisable Instabilité de l'origine du système (3.212) Existence de la fonction θ dans l'Exemple 2.277 Références Lexique et Notations Index		Index affine en l'entrée approximation au premier ordre attractivité equi-attractivité bassin d'attraction boucle algébrique bruit de mesure chaîne (ε , τ) récurrent commande optimale compléter les carrés concaténation de solutions condition de Carathéodory du petit gain critère de Popov degré relatif déphasage minimal dérivée dans la direction de f de Dini de Lie le long d'une solution dichotomie exponentielle domaine de stabilité dynamique linéaire ensemble α -limite ω -limite des points accessibles invariant limite entrée équation de Lyapunov de Sylvester état-zéro équi-détectabilité détectabilité uniformément en l'entrée exponentielle de matrice fonction d'accumulation requise définie positive de classe C^k KL K L de comparaison de Lur'e de Lyapunov décomposition de de transfert propre radialement non bornée séparément partiellement croissante globalisation des données inégalité de Grönwall inclusions différentielles infinitésimalement dissipatif (voir système dissipatif) input to state stability (ISS) (voir stabilité entrée-état) integral input to state stability (iISS) (voir stabilité intégrale entrée-état) intervalle maximal d'existence ISS lemme de Barbalat de convergence de convergence exponentielle positif réel linéarisation par changement de coordonnées, méthode de variation des constantes matrice de transition module de continuité norme pénalisée ombre orbite homocline origine phase asymptotique point α -limite ω -limite pour presque tout R({x},[a,b]) résonances retard sectoricité SEE solution équi-attractive asymptotiquement stable attractive exponentiellement stable (voir stabilité exponentielle) globalement stable instable périodique stable solution d'équation différentielle dépendance en (x,f) solution maximale sortie stabilité asymptotique condition nécessaire globale impossible robuste à des perturbations d'un ensemble entrée-état définitions équivalentes exponentielle robuste à des perturbations intégrale entrée-état pour des systèmes non autonomes pratique semi-globale totale uniforme storage function supply rate support d'une fonction surjectivité champs de gradient champs de vecteur système (Q,S,R)-dissipatif L^2-stable de Vinograd dissipatif hybride interconnecté non critique passif taux d'approche d'expansion temps terme de source théorème d'instabilité d'invariance de Chetaev de Hartman-Grobman de LaSalle de Lyapunov de stabilité de stabilité asymptotique de stabilité exponentielle du petit gain réciproque de Lyapunov transformation de boucle X(x,t;d)

Stabilisation et Atténuation de perturbations
Table des matières Introduction Stabilisation de point d'équilibre En présence de perturbation Rejet de perturbation Atténuation de perturbations Régulation de sortie Exemple : Transfert d'orbite à faible poussée Notes bibliographiques Conditions nécessaires de stabilisation Stabilisation par bouclage stationnaire différentiable Stabilisation par bouclage stationnaire continu Stabilisation par bouclage dynamique Un point sur le type de bouclages Notes bibliographiques Fonctions de Lyapunov assignables Fonctions de Lyapunov assignables Commande Optimale Commande optimale Fonction de Lyapunov assignable et fonction valeur de Bellman Assemblage de fonctions de Lyapunov assignables Notes bibliographiques Robustesse de la stabilisation asymptotique Robustesse ``naturelle'' de la stabilisation Cas des actionneurs imparfaits Cas de bouclage de type gradient Cas de bouclage avec un observateur de perturbation Atténuation de perturbations Cas où la perturbation n'agit pas dans l'image de la commande Cas où la perturbation agit dans l'image de la commande Cas où la perturbation agit multiplicativement sur la commande Notes bibliographiques Ajout de dérivateur L'outil d'ajout de dérivateur Introduction L'outil d'ajout de dérivateur La formule ``somme'' La formule ``max'' Fonction de Lyapunov ``aplatie'' Illustrations Compléments Cas avec perturbation Assignation de gain Application de l'assignation de gain au bouclage de sortie Sensibilité aux bruits de mesure Notes bibliographiques Systèmes C^1 dissipatifs et ajout d'intégrateur Systèmes C^1 dissipatifs Théorie Autres exemples Ajout d'intégrateur L'outil d'ajout d'intégrateur avec changement de coordonnées L'outil Existence de Ψ Expression de Ψ Utilisation d'une liste de dérivée de Lie de fonctions de x Ψ modulo L_{f_u}V_x Approximation de Ψ Application récursive des outils Exemple : Transfert d'orbite à faible poussée Application à la régulation faible de sortie L'outil d'ajout d'intégrateur avec un terme croisé L'outil Approximation de S Notes bibliographiques Bouclage de sortie Introduction Approche directe et indirecte Systèmes linéaires Approche directe ou d'erreur de commande Approche indirecte ou d'erreur d'estimation Difficultés dans le cas non linéaire Observabilité de la non bornitude ``Principe'' de séparation Approche directe avec un contrôleur en premier Contrôleur choisi en ignorant le problème d'estimation Contrôleur choisi en prenant en compte le problème d'estimation Approche indirecte avec un observateur en premier Cas général Système sous forme normale Notes bibliographiques Annexes Stabilisabilité et détectabilité des systèmes linéaires Complément sur l'Exemple 4.39 Existence d'une fonction ψ pour l'ajout de dérivateur Différentiabilité des fonctions Ψ et S pour l'ajout d'intégrateur Références Lexique et Notations Index		Index action intégrale actionneur imparfait ajout d'intégrateur avec nouvelles coordonnées avec terme croisé modulo L_{f_u}V_x de dérivateur formule ``max'' formule ``somme'' anti-windup (voir effet anti-emballement) approche directe indirecte approximation au premier ordre assemblage assignable continûment à l'origine strictement simplement{} strictement assignation de gain atténuation de perturbation (voir perturbation) backstepping (voir ajout de dérivateur) bouclage L_gV (voir bouclage de type gradient) d'état d'état partiel défini implicitement de sortie de type gradient linéaire périodique périodique stationnaire statique boucle fermée bruit de mesure CLF commande adaptative limitée en amplitude en variation optimale compléter les carrés comportement local imposé condition d'égalisation de non résonance du petit gain contraction control Lyapunov function (voir assignable simplement strictement) weak (voir assignable simplement) degré relatif déphasage minimal dérivée dans la direction de f de Dini de Lie le long d'une solution dynamique des zéros effet anti-emballement équation de Hamilton-Jacobi-Bellman de Ricatti erreur d'estimation de commande état-zéro détectabilité uniformément en l'entrée fonction de Bellman de classe C^k de Lyapunov (voir aussi assignable) aplatie valeur forme feedback feedforward normale formule de Freeman de Sontag forwarding (voir ajout d'intrégrateur) HJB immersion ISS marge de gain matching condition (voir condition d'égalisation) matrice de transition norme pénalisée observabilité de la non bornitude uniforme observateur à grand gain origine perturbation atténuation de dans l'image de la commande observateur de rejet de pour presque tout principe de séparation régulation de sortie rejet de perturbation (voir perturbation) SCP sectoricité SEE small control property (voir assignable continûment à l'origine) solution de référence stabilisabilité asymptotique globale semi-globale pratique synthèse de bouclage de loi de commande par annulation par domination système affine en la commande linéaire détectable stabilisable passif temps trajectoire de référence transfert d'orbite (exemple) transformation de Legendre-Fenchel uniting (voir assemblage) X(x,t;d)

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Stabilisation et Atténuation de perturbations

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