La transformée de Fourier fenêtrée remplace la sinusoïde de la transformée de Fourier par le produit d'une sinusoïde et d'une fenêtre localisée en temps.
Elle a deux arguments: le temps, et la fréquence.
La transformée de Fourier fenêtrée est définie par
L'atome utilisé est une sinusoïde multipliée par une fenêtre g symétrique d'énergie finie. La famille de vecteurs d'analyse est obtenue par translation et modulation de la fenêtre:
La fonction précédente est centrée fréquentiellement en x et symétrique par rapport à u.
L'écart-type en temps est constant. L'écart-type en fréquence est constant. La famille est donc obtenue par translation en temps et en fréquence d'une fenêtre unique. Voici une exemple de boîtes de Heisenberg d'atomes de Fourier fenêtrés:
La transformée de Fourier fenêtrée a une résolution temps-fréquence fixe. Cette résolution peut être modifiée par un changement d'échelle s sur la fenêtre g. C'est une représentation complète, stable et redondante du signal. Elle est donc inversible. La redondance se traduit par l'existence d'un noyau reproduisant.
Le carré du module de la transformée de Fourier fenêtrée est le spectrogramme du signal:
Les propriétés de la transformée de Fourier fenêtrée sont déterminée par sa fenêtre g, ou plutôt par la transformée de Fourier de celle-ci, dont on cherche à concentrer l'énergie autour de 0. La répartition de cette énergie est résumée par trois paramètres.
La transformée de Fourier fenêtrée rapide revient à une succession de FFT.