Les frames

Les frames fournissent une représentation stable, éventuellement redondante, du signal.

C'est une généralisation de la notion de base d'un espace vectoriel.


Une frame est une famille de vecteurs qui permet de représenter tout signal L2 par ses produits scalaires avec ces vecteurs. Par contre, une suite quelconque de réels peut ne pas représenter un signal. Le suréchantillonnage d'un signal est une exemple de représentation du signal sur un frame. On voit qu'une suite quelconque de valeurs peut ne pas correspondre à des valeurs suréchantillonnées d'un signal. En général, les frames fournissent une représentation discrète et redondante du signal.

Définition

Une famille de vecteurs d'un espace de Hilbert H est une frame de H s'il existe deux constantes A>0 et B>0 telles que, pour tout f de H,

Si A=B, on dit que la frame est ajustée.

Une base de Riesz est une frame de vecteurs indépendants.

Exemple: on se place dans le plan et on considère une famille de trois vecteurs unitaires se déduisant les uns des autres par rotation de d'un tiers de tour. Il forment une frame ajustée du plan, avec A=B=3/2.

Propriétés

On suppose que les vecteurs les vecteurs de frame sont normalisés à 1.

Si les vecteurs de frame sont indépendants, alors A<=1<=B. La frame est une base orthonormée si et seulement si A=B=1. Si A>1, la frame est redondante. Une famille finie est toujours une frame de l'espace qu'elle engendre.

Pseudo-inverse

On note U l'opérateur qui à f associe la suite de ses produits scalaires sur la frame.

U admet 1 ou une infinité d'inverse à gauche.

Le pseudo-inverse de U est l'inverse à gauche de U qui est nul sur sur l'orthogonal de l'image de U. C'est l'inverse à gauche de norme minimale.

Il permet de construire une approximation du signal à partir d'une suite de réels quelconques. Le calcul de (U*U)-1f peut être effectué par un algorithme de gradient conjugué.

Frame duale

L'image par (U*U)-1 de la frame est une frame appelée frame duale. Pour tout f de H, on a

et

Si la frame primale est une base de Riesz, alors les deux frames constituent un système de bases biorthogonales, c'est-à-dire:


Frames de Fourier fenêtrées et d'ondelettes.