Approximations

Approximation par projection a priori.

Le signal e à l'échelle la plus grossière permet de construire la projection du signal d'origine sur la résolution numéro 4. Pour cela, il suffit de mettre à zéro les coefficients d'ondelettes et d'opérer une reconstruction.

Exercice

Nous allons repartir de l'exercice 6. Ouvrez donc votre fichier EX6.m (ou SOL6.m) et enregistrez-le sous le nom de 'EX7.m'.

• Commencez par adapter la décomposition et la reconstruction pour ne travailler que sur trois échelles. Attention à la synchronisation!
• Juste après la dernière décomposition, stocker la longueur de e: ce sera en effet le nombre de données que nous retiendrons du signal.
• Modifiez le code source pour que les signaux w1, w2 et w3 soient mis à zéro avant la reconstruction tout en gardant leur taille. La création d'une matrice nulle Z de même taille que M se fait l'instruction Z = zeros(size(M));
• Effacez le contenu de la figure 1 par la commande clf. Affichez en figure 1 le signal approximé obtenu à la fin de la reconstruction.
• Affichez en figure 2 la différence entre signal approximé et signal d'origine.
• A la suite,évaluez l'énergie moyenne de l'erreur. Pour cela, calculez l'erreur d'approximation d puis divisez le produit scalaire d*d' (d est un vecteur ligne!) par le nombre d'échantillons. Faites afficher le résultat sur la fenêtre de travail, ainsi que le nombre de coefficients utilisés.

Où se situent les plus grandes erreurs?

Solution (commande SOL7)

Approximation par concours

On commence par construire une fonction de sélection des n plus grands coefficients d'ondelettes.

Exercice

Écrire une fonction de syntaxe

qui garde dans x les n éléments de plus grande amplitude et met à zéro les autres.

Plan de l'algorithme:

• affecter à la variable z la valeur absolue de x en utilisant la fonction abs
• trier les éléments de z à l'aide de la fonction sort. Le résultat est par ordre croissant.
• extraire de ce tri la n^ème plus grande valeur et l'affecter à t.
• la routine i=find(x) renvoie l'ensemble i des indices des éléments de x qui ne sont pas nuls. Par ailleurs, l'opérateur de comparaison "plus petit que" se note <. Combiner ces deux fonctions pour mettre à zéro les éléments de x dont la valeur absolue est plus petite que t.

Solution

Application

On repart de l'exercice 6; ouvrez le fichier EX6.m (ou SOL6.m) et enregistrez-le sous le nom de 'EX8.m'.

• avant la reconstruction, utilisez plot5 pour tracer en fenêtre 3 les tris par valeur absolue des coefficients d'échelle et d'ondelettes. Calculez le nombre n (indépendant de l'échelle) de coefficients d'ondelettes qu'il faut garder aux 4 échelles pour avoir le même nombre de données pour la reconstruction du signal que dans l'exercice précédent. Constatez qu'il permet d'espérer une bonne reconstruction.
• avant la reconstruction, modifiez w1, w2, w3, w4 pour ne garder que les n plus grandes valeurs
• tracez par plot5 les coefficients ainsi obtenus en figure 4.
• comme dans l'exercice précédent, à la fin du source tracez en figure 1 le signal approximé obtenu à la fin de la reconstruction et en figure 2 la différence entre signal approximé et signal d'origine.
• calculez ensuite l'énergie de l'erreur comme dans l'exercice précédent.
• finalement, affichez le nombre de coordonnées utilisées

Comment améliorer le tri précédent?

Solution (command SOL8)

Amélioration

On va améliorer la procédure de l'exercice précédent. Pour cela on va faire un tri global sur les coefficients d'ondelettes au lieu de le faire échelle par échelle. On repart de l'application précédente dont on enregistre le source en 'EX9.m'

• commencez par ecrire une routine 'threshold' qui met à zéro tooutes le valeurs d'un signal lorsque sa valeur absolue est en dessous d'un seuil passé en paramètre.
• Remplacez l'affichage du tri échelle par échelle par un tri sur l'ensemble des valeurs absolues des coeficients d'ondelettes. Calculez le nombre n de coefficients d'ondelettes qu'il faut garder pour avoir le même nombre de données pour la reconstruction du signal que dans les deux exercices précédents. Constatez qu'il permet d'espérer une bonne reconstruction. Calculer la valeur du seuil à partir du tableau de tri.
• avant la reconstruction, modifiez w1, w2, w3, w4 pour ne garder que les coefficients d'ondelette dont la valeur absolue dépasse le seuil.
• comme dans les exercices précédents, à la fin du source tracez en figure 1 le signal approximé obtenu à la fin de la reconstruction et en figure 2 la différence entre signal approximé et signal d'origine.
• calculez ensuite l'énergie de l'erreur comme dans l'exercice précédent.
• finalement, affichez le nombre de coordonnées utilisées

Solution (command SOL9)

C'est fini!